資源簡介

函數的應用（一）
一、內容
利用函數概念及其蘊含的數學思想方法解決簡單的實際問題，使用分段函數建立簡單的函數建模．
二、目標
體會函數與現實世界的密切聯系，初步理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具．
達成上述目標的標志是：
（1）能從教科書例1中分析出存在幾個變量，并確定他們之間的關系，通過這些關系確定應繳納綜合所得個稅與綜合所得收入額間的關系．
（2）能正確理解教科書例題中函數關系的實際意義，能使用它分析簡單的實際問題；
（3）能準確理解例題中文字部分和圖表部分的多種信息，并綜合應用于確定函數關系，從而培養學生的數學抽象和數學建模素養．
教學支持條件分析
為了幫助學生正確分析實際問題中的變量關系，并能利用已知條件中的各種信息，教學時應注意使用問題引導的形式與信息技術的綜合輔助功能相結合，使問題解決思路清晰，處理數據計算便捷，讓學生能夠將主要精力投入到建立數學模型的體驗中，能更加深刻地感受到數學問題不同呈現形式的意義與數學建模的實用價值．
四、教學過程
（一）復習引入
　　問題1：我們前面學過了哪些函數？
師生活動：教師提出問題，學生回答問題．學生回答并相互補充，歸納得到：一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數．
教師引導學生寫出每類函數的解析式．
　　一次函數：
反比例函數：
二次函數：
冪函數
追問：什么是分段函數？ 你能舉例說明嗎？
師生活動：教師提出問題，學生思考并回答.教師引導學生回顧分段函數定義并舉例說明：形如這樣的函數稱為分段函數．
設計意圖：本節課就是利用分段函數解決實際問題，通過回顧一次函數、二次函數、反比例函數和分段函數，為后面的實際應用奠定基礎．
（二）例題教學
例1：設小王的專項扣除比例、專項附加扣除金額、依法確定的其他扣除金額與3.1.2例8相同，全年綜合所得收入額為x（單位：元），應繳納綜合所得個稅稅額為y（單位：元）．
（1）求y關于x的函數解析式；
（2）如果小王全年的綜合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年應繳納多少綜合所得個稅？
問題２：大家仔細讀題并回想前面的例8以及它的分析結果．如何得到y關于x的函數解析式？
第70頁例8：依法納稅是每個公民應盡的義務，個人取得的所得應依照《中華人民共和國個人所得稅法》向國家繳納個人所得稅（簡稱個稅），2019年1月1日起，個稅稅額根據應納稅所得額、稅率和速算扣除數確定，計算公式為
個稅稅額=應納稅所得額稅率–速算扣除數．
應納稅所得額的計算公式為
應納稅所得額=綜合所得收入額–基本減除費用–專項扣除
　　 –專項附加扣除–依法確定的其他扣除．
其中，“基本減除費用”（免征額）為每年60 000元．稅率與速算扣除數見表
級數 全年應納稅所得額區間 稅率(%) 速算扣除數
1 [0，36 000] 3 0
2 (36 000，144 000] 10 2 520
3 (144 000，300 000] 20 16 920
4 (300 000，420 000 ] 25 31 920
5 (420 000，660 000 ] 30 52 920
6 (660 000，960 000 ] 35 85 920
7 (960 000，+∞) 45 181 920
（1）設全年應納稅所得額為t，應繳納個稅稅額為y，求，并畫出圖象；
（2）小王全年綜合所得收入額為189 600元，假定繳納的基本養老保險、基本醫療保險、失業保險等社會保險費和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%，2%，1%， 9%，專項附加扣除是52 800元，依法確定其他扣除是4 560元，那么他全年應繳納多少綜合所得個稅？
師生活動：學生讀題后思考，嘗試回答．老師啟發引導，探尋解題思路，得到：先使用個人應納稅所得額計算公式得到t與x的關系，再利用例8第（1）問的結果，得到應繳納個稅稅額y關于全年應納稅所得額t的解析式，再將t等量代換為x即可得到y關于x的函數解析式．在學生獨立書寫后，教師可將學生答案展示后糾正不標準的敘述，再用多媒體展示答案．
解析：（1）若小王全年綜合所得收入額為x（單位：元），由個人應納稅所得額計算公式，可得
令
根據個人應納稅所得額的規定可知，當時，．
　　所以，個人應納稅所得額t關于綜合所得收入額x的函數解析式為
結合例8所得的解析式
可得：
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以．
所以，函數解析式為
（2）根據上述解析式，當時，．
所以，小王全年需要繳納的綜合所的個稅稅額為5 712元．
設計意圖：通過中間量t，建立起y與x的關系，提升學生的數學運算素養．通過展示解答，糾正問題，規范演示，培養學生嚴謹的語言表述習慣．
例2： 一輛汽車在某段路程中行駛的平均速率v（單位：km/h）與時間t（單位：h）的關系如圖所示，
求圖3.41中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；
假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2 004 km，試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數s（單位：km）與時間t的函數解析式，并畫出相應的圖象．
問題３：你能說出圖3.41中反映出汽車行駛的什么規律？從圖中能獲得哪些信息？
師生活動：讓學生思考回答，最后使學生認識到：
當時間t在[0，5]內變化時，對于任意的時刻t都有唯一確定的行駛速率與之相對應．根據圖3.41，在時間段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]內行駛的平均速率分別為50 km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每個時間段內，行駛路程與時間的關系也不一樣，需要分段表述．
追問1：（1）能寫出平均速率v與時間t的關系式嗎？
　　　 （2）你能理解陰影部分面積的實際意義嗎？
師生活動：（1）學生讀圖后嘗試寫出，教師規范引導，得出汽車的行駛規律的解析式表示如下：
（2）教師適時引導學生把陰影部分面積轉化為多邊形的面積，即5個長方形面積的和，并提示：每個長方形的長是什么？是多少？長方形的寬是什么？是多少？“是多少”能回答面積的計算問題，“是什么”能回答面積的意義問題．得到陰影部分的面積為：
因此陰影部分的面積表示汽車在這5 h內行駛的路程為360 km．
追問2：尋求汽車行駛路程與時間的函數解析式與圖象．
師生活動：讓學生思考回答，最后使學生認識到：通過借助第（1）問的結論，可以將求路程的問題轉化為求對應多邊形的面積問題加以解決．教師引導學生動態地觀察圖中直線左側的陰影部分的面積．如：當時，直線左側的陰影部分是一個長方形，長是50，寬是t；當時，直線左側的陰影部分是兩個長方形，一個長是1，寬是50，另一個長是，寬是80；當時，直線左側的陰影部分是三個長方形，一個長是1，寬是50，一個長是1，寬是80，另一個長是，寬是90；……
如圖
得到結論
路程
追問3：上述結果是汽車里程表讀數與時間的函數解析式嗎？如不是該如何調整呢？
師生活動：學生思考回答，得到
這個函數的圖象如圖所示
設計意圖：問題的信息除了以文字形式表述外，也見于速率關于時間變化的圖象中．通過學生全面的審題，有助于培養學生的讀圖能力，提高學生獲得信息的能力．另外通過動態觀察獲得數學表示，進一步轉化為直觀圖象，通過這一過程感受數學化的好處，提高直觀想象和數學建模素養．
（三）應用練習
練習1：（教材第95頁練習1） 若用模型描述汽車緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時的速率x（單位：km/h）的關系，而某種型號的汽車在速率為60 km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20 m．在限速為100 km/h的高速公路上，一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為50 m，那么這輛車是否超速行駛？
師生活動：教師指導學生審題后，學生思考后回答．
解析：由解得，
由解得，
因為，
所以這輛車沒有超速．
練習2：某廣告公司要為客戶設計一幅周長為l（單位：m）的矩形廣告牌，如何設計這個廣告牌可以使廣告牌的面積最大？
師生活動：教師指導學生審題后，學生思考作答．
解析：設矩形的一邊長為x，廣告牌的面積為S，
則
當時，S取得最大值，且．
所以當廣告牌是邊長為的正方形時，廣告牌的面積最大．
設計意圖：通過練習鞏固本節所學知識，提高學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數學思想，增強學生的應用意識．
（四）歸納小結
教師引導學生回顧本節課的學習內容，并回答以下幾個問題：
（1）解決數學應用問題的基本思路與過程是什么？
（2）你能說出函數應用過程中要注意什么問題嗎？
設計意圖：通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力，提高學生的數學運算能力和邏輯推理能力．
（五）布置作業
教科書第95頁，習題3.4第1，2，3題．
六、目標檢測設計
（教材第95頁練習3）．某公司生產某種產品的固定成本為150萬元，而每件產品的可變成本為2 500元，每件產品的售價為3 500元．若該公司所生產的產品全部銷售出去，則
（1）設總成本為（單位：萬元），單位成本為（單位：萬元），銷售總收入為（單位：萬元），總利潤為（單位：萬元），分別求出它們關于總產量x（單位：件）的函數解析式；
（2）根據所求函數的圖象，對這個公司的經濟效益做出簡單分析．
解析：（1）；；；．
（2）若分析盈利問題則考慮函數．
由圖可知想要盈利則，即，
所以當件時，該公司虧損；
當件時，該公司不賠不賺；
當件時，該公司盈利．
設計意圖：教師引導學生通過審題——找變量間的關系——列出解析式——解決實際問題的過程，回顧本節課函數應用的基本思路，并讓學生能夠在各環節中抓住關鍵點，如本題中的單位換算問題，從而體現數學的邏輯性和嚴謹性．

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