資源簡(jiǎn)介

冪函數(shù)
（一）教學(xué)內(nèi)容
了解冪函數(shù)的定義，會(huì)用冪函數(shù)的定義識(shí)別給出的函數(shù)是冪函數(shù)；會(huì)畫冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的圖象，能結(jié)合圖像和解析式研究函數(shù)的性質(zhì)。
（二）教材分析
1. 教材來(lái)源
本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章第3節(jié) 《冪函數(shù)》。從內(nèi)容上看它是在我們學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，利用函數(shù)概念和對(duì)圖像的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì)后的一節(jié)教學(xué)內(nèi)容。從思想層面看，本節(jié)課突出體現(xiàn)了函數(shù)概念和性質(zhì)在具體函數(shù)中體現(xiàn)和融合，明確了研究函數(shù)的一種模式，為我們學(xué)習(xí)研究函數(shù)一個(gè)范例。因此本節(jié)課在整個(gè)函數(shù)的研究和學(xué)習(xí)中具有較重要的地位和作用。
2. 地位與作用
在我們經(jīng)歷了初中的正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)后，我們深入的研究了函數(shù)的概念和性質(zhì)，哪如何利用函數(shù)的概念和性質(zhì)研究我們常見的初等函數(shù)？?jī)绾瘮?shù)的研究做了一個(gè)很好的示范，為我們研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)起到了承上啟下的作用，同時(shí)讓我們體會(huì)到通過“定義、表示—圖像與性質(zhì)—應(yīng)用研究”一類函數(shù)的思路和方法。
（三）學(xué)情分析
1.認(rèn)知基礎(chǔ)：
學(xué)生已經(jīng)具備了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)以及函數(shù)的概念、性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，具備利用圖像研究函數(shù)性質(zhì)的能力。
2.認(rèn)知障礙：
通過冪函數(shù)的研究、學(xué)習(xí)，學(xué)生一時(shí)難以形成“定義、表示—圖像與性質(zhì)—應(yīng)用研究”一類函數(shù)的思路和方法。
（四）教學(xué)目標(biāo)
1. 能從具體情境中抽象出冪函數(shù)概念，會(huì)利用定義識(shí)別出函數(shù)是否為冪函數(shù)，在這個(gè)過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2.能正確畫出冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的圖象，描述它們的變化規(guī)律，討論它們的基本性質(zhì)，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
3.能力目標(biāo)：
能利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明冪函數(shù)的單調(diào)性，能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
（五）教學(xué)重難點(diǎn)：
1. 重點(diǎn)：冪函數(shù)的概念及五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).
難點(diǎn)：概括五個(gè)冪函數(shù)的共性，以及冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和證明.
教學(xué)思路與方法
借助多媒體從實(shí)例問題導(dǎo)入，以函數(shù)的思維方式抽象出冪函數(shù)的概念，以特例為主，利用幾何畫板軟件展示5個(gè)冪函數(shù)圖象，以探索問題為主線展開，概括出5個(gè)冪函數(shù)圖像性質(zhì)及冪函數(shù)性質(zhì)。進(jìn)而形成用“定義、表示—圖像與性質(zhì)—應(yīng)用研究”模式研究一類函數(shù)的思路和方法。
課前準(zhǔn)備
多媒體Geograph畫圖軟件、PPT課件
（九）教學(xué)過程
（一）冪函數(shù)定義的抽象
問題1：我們知道函數(shù)可以用來(lái)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題，請(qǐng)看下面幾個(gè)例子：
如果張紅以1元/kg的價(jià)格購(gòu)買了某種蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，這里p是w的函數(shù)；
如果正方形的邊長(zhǎng)為a，那么正方形的面積S=，這里S是a的函數(shù)；
如果立方體的棱長(zhǎng)為b，那么立方體的體積V=，這里V是b的函數(shù)；
如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為S，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，這里c是S的函數(shù)；
如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km，那么他騎車的平均速度v km/s，即v=，這里v是t的函數(shù)．
觀察這五個(gè)函數(shù)的解析式，從自變量、函數(shù)值和解析式的結(jié)構(gòu)特征看，它們有什么共同特征？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生觀察思考后回答問題．根據(jù)學(xué)生的回答，教師進(jìn)行必要的補(bǔ)充．最后明確指出：這幾個(gè)函數(shù)的解析式都具有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)都是常數(shù)．
教師給出冪函數(shù)的定義，并進(jìn)行板書．
追問（1）：這幾個(gè)函數(shù)中有沒有你熟悉的函數(shù)？
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生思考并回答．p=w，S=，v=分別是初中學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的特殊情況，這種形式的函數(shù)稱為冪函數(shù)．
追問（2）：能否根據(jù)冪函數(shù)的定義將上述五個(gè)問題中對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)寫出來(lái)？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師根據(jù)學(xué)生回答的冪函數(shù)的解析式寫出來(lái)，并進(jìn)行糾錯(cuò)．
追問（3）：你能說出冪函數(shù)解析式的特征嗎？判斷下面幾個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，并說出理由．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，并闡述原因，教師根據(jù)學(xué)生的回答進(jìn)行評(píng)價(jià)和強(qiáng)調(diào)：底數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)，冪的系數(shù)為1，解析式等號(hào)右邊只有一項(xiàng)．根據(jù)冪函數(shù)的定義（1）（2）（6）是冪函數(shù)，（3）（4）（5）不是冪函數(shù)．
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生熟悉的實(shí)際問題引出冪函數(shù)；通過追問（1）使學(xué)生建立冪函數(shù)與之前已學(xué)函數(shù)的聯(lián)系；追問（2）引導(dǎo)學(xué)生抓住冪函數(shù)的解析式的形式特點(diǎn)；追問（3）使學(xué)生對(duì)冪函數(shù)的定義加以辨析應(yīng)用，強(qiáng)化理解．
（二）冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
問題2：我們知道了什么是冪函數(shù)，結(jié)合以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)該研究些什么呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行補(bǔ)充，最后得出：根據(jù)我們學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，應(yīng)該研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等內(nèi)容．
追問：如何研究?jī)绾瘮?shù)的這些性質(zhì)呢？
根據(jù)學(xué)生交流討論情況，教師可以適時(shí)地引導(dǎo)歸納，得到：根據(jù)初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可以先用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，再觀察圖象得到函數(shù)的性質(zhì).在畫圖過程中也可以利用解析式來(lái)幫助我們簡(jiǎn)化畫圖過程．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧已有經(jīng)驗(yàn)，得出研究函數(shù)的一般內(nèi)容和方法．
問題3：這五個(gè)冪函數(shù)中，，的圖象是我們熟悉的，如何畫出和的圖象呢？
追問：觀察這兩個(gè)函數(shù)的解析式，你能先說出它們的一些性質(zhì)嗎？
師生活動(dòng)：讓學(xué)生思考回答，最后使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：通過解析式可以得到函數(shù)的定義域和奇偶性，定義域是R，是奇函數(shù)；定義域是非負(fù)實(shí)數(shù)組成的集合，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，可以通過這些性質(zhì)簡(jiǎn)化作圖的過程．
學(xué)生利用描點(diǎn)法進(jìn)行作圖，在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出五個(gè)冪函數(shù)的圖象，教師利用信息技術(shù)進(jìn)行畫圖并演示．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究一類函數(shù)的一般方法．其中，讓學(xué)生先觀察和的解析式特點(diǎn)，對(duì)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)進(jìn)行初步判斷，可以使學(xué)生提高取點(diǎn)的目的性，使圖象更好地反映出函數(shù)的性質(zhì)特征，而且可以使學(xué)生體會(huì)高中階段研究函數(shù)性質(zhì)的新特點(diǎn)．
函數(shù)
定義域 R R R
值域 R R
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 增 增 增
問題4：觀察這五個(gè)函數(shù)圖象，它們有哪些共同的性質(zhì)？有哪些不同的性質(zhì)？
師生活動(dòng)：學(xué)生觀察思考后回答，教師引導(dǎo)補(bǔ)充并將這些性質(zhì)填入表格中．
追問：再觀察這五個(gè)冪函數(shù)的圖象上是否有某些特殊點(diǎn)可以體現(xiàn)出它們的共同特點(diǎn)？在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象還有什么變化趨勢(shì)？
師生活動(dòng)：學(xué)生觀察思考后回答，教師引導(dǎo)得到結(jié)論：五個(gè)函數(shù)的圖象都過點(diǎn)（1，1），在第一象限內(nèi)函數(shù)的圖象“當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，圖象無(wú)限靠近x軸，當(dāng)x趨于0時(shí)，函數(shù)圖象無(wú)限靠近y軸”．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖象 得出五個(gè)冪函數(shù)各自的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上歸納出共性和差異性，得出冪函數(shù)的一些基本性質(zhì)．
問題5：利用函數(shù)的圖象我們得到了五個(gè)冪函數(shù)的基本性質(zhì)．事實(shí)上，觀察得到的結(jié)論是不可靠的，我們還應(yīng)對(duì)其加以嚴(yán)格的證明．
例：證明冪函數(shù)在[0，+∞)上是增函數(shù)．
師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生嘗試完成，教師對(duì)證明過程進(jìn)行分析評(píng)價(jià)．
解析：函數(shù)的定義域是，
，[0，+∞)，且，有
．
因?yàn)椋?br/>所以，即冪函數(shù)在上是增函數(shù)．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生能夠?qū)τ^察到的性質(zhì)進(jìn)行理性的思考，利用解析式對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用抽象語(yǔ)言表述的單調(diào)性定義在證明中的重要作用．
問題6：練習(xí)，教科書第91頁(yè)練習(xí)1，2，3
1.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式．
解析：設(shè)冪函數(shù)解析式為．
　　將點(diǎn)帶入解析式，則，
得．
，．
設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)冪函數(shù)定義的理解，并規(guī)范數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述．
2.利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個(gè)值的大小：
（1）；（2）；（3）．
解析：（1）由于冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，
．
由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
．
（3）
．
由于在上單調(diào)遞增，且，
，
即．
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出使用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小的基本思路和方法：比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，否則無(wú)法比較大小．因此如果底數(shù)不同需轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪才能選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膬绾瘮?shù)進(jìn)行比較說明，同時(shí)要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)冪函數(shù)和單調(diào)性的應(yīng)用，使用時(shí)提示：冪函數(shù)的圖象不連續(xù)，因此要注意單調(diào)區(qū)間的描述．
3.畫出函數(shù)的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性．
師生活動(dòng)：學(xué)生分析思考后回答，教師引導(dǎo)歸納得出：這是一個(gè)分段函數(shù)，也是一個(gè)偶函數(shù)，它的定義域是．當(dāng)時(shí)，是我們熟悉的五個(gè)冪函數(shù)之一，當(dāng)時(shí)的函數(shù)圖象與時(shí)的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．如下圖：
單調(diào)性是：?jiǎn)握{(diào)遞減，單調(diào)遞增
設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)一般函數(shù)研究思路和方法的理解掌握．
（三）歸納小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答以下幾個(gè)問題：
什么是冪函數(shù)？結(jié)合具體的冪函數(shù)，你能說出冪函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？
結(jié)合對(duì)五個(gè)冪函數(shù)圖象的研究過程，你能歸納一下學(xué)習(xí)函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和方法嗎？
師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：
1．判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵是判斷其是否符合(為常數(shù))的形式；
2．冪函數(shù)的圖象是冪函數(shù)性質(zhì)的直觀反映，會(huì)用類比歸納的思想從五個(gè)冪函數(shù)的角度分析(為常數(shù))的圖象與性質(zhì)；
3．冪函數(shù)的單調(diào)性是比較冪值大小關(guān)系的重要依據(jù)，要學(xué)會(huì)用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決冪值比較大小的問題．
設(shè)計(jì)意圖：回顧本節(jié)課的主要知識(shí)和研究過程，總結(jié)研究函數(shù)的內(nèi)容、思路和方法．
布置作業(yè)
教科書第91頁(yè)，習(xí)題3.3第1，2，3題．
七、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
已知函數(shù)是冪函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，試確定m的值．
解：根據(jù)冪函數(shù)的定義，得，
解得或．
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，不符合要求．
故．
設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生對(duì)冪函數(shù)定義和性質(zhì)的理解，并重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的規(guī)范和思維的嚴(yán)謹(jǐn)．

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