資源簡介

函數的奇偶性
一、課時內容：函數的奇偶性
二、課時目標
1、理解函數的奇偶性及其幾何意義，培養數學抽象的核心素養；
2、學會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性，提升直觀想象的核心素養；
3、學會判斷函數的奇偶性，強化邏輯推理的核心素養；
4.在具體問題情境中，運用數形結合思想，利用奇偶性解決函數性質的總個問題，提升數學運算的核心素養。
三、重點難點
重點：函數奇偶性概念的形成和函數奇偶性的判斷；
難點：函數奇偶性概念的探究與理解．
教學過程
(一) 情景導入
我們知道函數是描述事物變化規律的數學模型，函數性質是“變化中的規律性，變化中的不變性”．上一節課，我們共同學習了函數的單調性與最大（?。┲?，用符號語言準確地描述了函數圖象在定義域的某個區間上“上升”（或“下降”）的性質，本節課，我們繼續研究函數的其他性質．
（二）概念的形成
問題1：平面直角坐標系中的任意一點關于x軸、y軸、坐標原點的對稱點Q、R、S的坐標．
追問：一般地，若兩點關于x軸對稱，它們的坐標之間有何關系？若關于y軸對稱呢？關于原點中心對稱呢？
設計意圖：從學生已學知識復習導入，通過具體的點引導學生感受對稱與坐標的關系，為后續奇偶性定義中的任意性做一些鋪墊．
問題2：畫出并觀察函數和的圖象，你能發現這兩個函數圖象有什么共同特征嗎？
師生活動：先由學生獨立思考，教師利用PPT展示函數圖象．學生觀察后，不難發現，這兩個函數的圖象都關于y軸對稱．那么，如何使用符號語言精準地描述“函數圖象關于y軸對稱”這一特征？所以，教師繼續追問．
追問：對于上述兩個函數，與，與，與，與有什么關系？
師生活動：先由學生獨立思考，教師積極地引導學生發現，當自變量取一對相反數時，相應的兩個函數值相等．
追問：對于定義域內任意的一個x，都有成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？
師生活動：以為例，其定義域為R．對于定義域R內任意的一個x，都有，與均有意義．因為，所以是成立的．同樣的，驗證函數，結論依然成立．
設計意圖：通過觀察函數的圖象，思考問題，提高學生分析問題、總結問題的能力．從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數學語言，讓學生體會數學語言的嚴謹性和簡潔性，教師給出嚴格的定義表述．
定義：一般地，設函數的定義域為I，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數．
問題3：從偶函數的定義出發，如何證明函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱．
師生活動：先由學生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導學生嘗試探索，在充分交流的基礎上，教師給出嚴格的定義表述．
充分性：設是函數圖象上任意一點，則．因為函數的圖象關于y軸對稱，所以點P關于y軸的對稱點也在函數圖象上，即．所以對任意的x，都有，所以函數是偶函數．
必要性：設是函數圖象上任意一點，則．記點P關于y軸的對稱點為Q，則．因為函數是偶函數，所以，即，所以點Q在函數圖象上，所以函數的圖象關于y軸對稱．
問題4：畫出并觀察函數和的圖象，你能發現這兩個函數圖象有什么共同特征嗎？
師生活動：教師利用PPT展示函數圖象，學生觀察圖象后回答問題．不難發現，這兩個函數的圖象都關于原點成中心對稱圖形．那么，如何使用符號語言精準地描述“函數圖象關于原點中心對稱”這一特征？所以，教師繼續追問．
追問：對于上述兩個函數，與，與，與，與有什么關系？
師生活動：先由學生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導學生發現，當自變量取一對相反數時，相應的函數值與也是一對相反數．
追問：對于定義域內任意的一個x，都有成立嗎？如何驗證我們的猜想呢？
師生活動：以為例，定義域為R．對于定義域R內任意的一個x，，與均有意義．因為，所以是成立的．同樣的，驗證函數，結論依然成立．
設計意圖：通過觀察函數的圖象，思考問題，提高學生分析問題、總結問題的能力．從多個具體的實例中抽象概括出共同特征，形成較為抽象的數學語言，讓學生體會數學語言的嚴謹性和簡潔性，教師給出嚴格的定義表述．
定義：一般地，設函數的定義域為I，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數．
當函數是偶函數或奇函數時，稱具有奇偶性．
問題5：從奇函數的定義出發，如何證明函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱．
師生活動：先由學生獨立思考完成，再組織全班交流．教師積極地引導學生嘗試探索，在充分交流的基礎上，教師給出嚴格的定義表述．該問題類比問題2的證明過程．
充分性：設是函數圖象上任意一點，則．因為函數的圖象關于原點對稱，所以點P關于原點的對稱點為也在函數圖象上，即．所以對任意的x，都有，所以函數是奇函數．
必要性：設是函數圖象上任意一點，則．記點P關于原點的對稱點為Q，則．因為函數是奇函數，所以，即，所以點Q在函數圖象上，所以函數的圖象關于原點對稱．
（三）概念的辨析
問題6：判斷下列函數的奇偶性：
（1）； （2），；
（3），； （4），．
師生活動：先由學生獨立思考，教師再組織全班交流．
答案：（1）偶函數；（2）非奇非偶函數；（3）非奇非偶函數；（4）奇函數．
設計意圖：從同一個函數出發，學生更為容易進行探究活動，得出結論．我們不難發現，（1）、（4）中每一個x、-x同時屬于定義域，所以與都有意義．而（2）、（3）中則無法滿足每一個x、-x同時屬于定義域，所以與無法滿足都有意義．
師生共同得出結論：函數具有奇偶性的前提是函數的定義域關于原點對稱，如不對稱則可直接判斷其為非奇非偶函數．
追問：奇函數若在處有定義，
師生活動：因為為奇函數，所以，，．
（四）概念的深化
例1 ：判斷下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
師生活動：本例由學生獨立思考、小組討論，可讓幾個學生進行板書，完成后再進行點評完善．
解：（1）函數的定義域為R．
因為，都有，且，
所以，函數為偶函數．
（2）函數的定義域為R．
因為，都有，且，
所以，函數為奇函數．
（3）函數的定義域為．
因為，都有，且
，
所以，函數為奇函數．
（4）函數的定義域為．
因為，都有，且，
所以，函數為偶函數．
（5）函數的定義域為R．
因為，都有，且，
所以，函數為非奇非偶函數．
另解：函數為初中階段所學的二次函數，顯然，其對稱軸為．
函數圖象如右：
故函數為非奇非偶函數．
（6）由函數解析式可得定義域為．
因為，都有，且，
所以，函數為奇函數．
另解：
函數圖象如右：
從圖可知，函數圖象關于原點對稱，故是奇函數．
追問：你能總結例題的解題過程，歸納一下利用定義判斷函數奇偶性的基本步驟嗎？
設計意圖：通過追問，師生共同總結利用定義判斷函數奇偶性的基本步驟，教師給出解答示范．
第一步，首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；
第二步，確定與的關系；
第三步，作出相應結論：若或，則是偶函數；若或，則是奇函數．
通過具體的函數，深化學生對判斷函數奇偶性的基本步驟的理解，尤其是“首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱”；三是通過例題讓學生能夠了解有些函數是非奇非偶函數．
例2 （1）判斷函數的奇偶性．
（2）如右圖，是函數圖象的一部分，你能根據的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？
（3）一般地，如果知道為偶（奇）函數，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？
師生活動：本例由學生獨立思考，完成后教師再進行點評完善．
（1）奇函數；（2）圖象如右
設計意圖：通過思考，讓學生根據奇（偶）函數的圖象的對稱性畫函數的圖象，進一步理解函數的奇偶性。所以，我們在研究函數性質時，只需要研究定義域的一半部分．知一半則可知全部，即縮小研究的范圍，從而達到“事半功倍”的效果，提高解題效率．
（五）概念的鞏固應用
1．下列圖象表示的函數具有奇偶性的是（ ）
解析：B選項函數圖象關于y軸對稱，所以該函數是偶函數．其他選項的函數圖象都不具有奇偶性．
答案：B
設計意圖：讓學生直觀地通過函數圖象的對稱性判斷偶（奇）函數．
2．判斷下列函數的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
答案：（1）偶函數；（2）奇函數；（3）偶函數；（4）偶函數．
設計意圖：考查學生對判斷函數奇偶性的理解，提高學生的解題能力．
3．函數，是奇函數，則a等于（ ）
A． B． C． D．無法確定
解：∵奇函數的定義域關于原點對稱，
∴， ∴．
設計意圖：考查學生對奇函數定義域的理解．
（六）課堂小結與作業
教師引導學生回顧本單元所學知識，并引導學生回答下面的問題：
（1）偶函數與奇函數的定義．
（2）利用定義判斷函數奇偶性的基本步驟是什么？
定義法：
圖象法：即若函數的圖象關于原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數．
作業：教材第85頁練習第1，2，3題

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